前言

只有数一，政治 英一 408 没有笔记的，408 在王道上划划划就完了。

更新开始于： 2025.04.03

最近更新：2025.06.03

高数部分

极限

基本概念

有界性：

1. 指明区间：函数在给定的区间上有界，未指明区间则为函数定义式
2. 常见的有界函数： $\sin x,\cos x，\arcsin x,\arctan x,\arccos x$

数列保号性：

1. 局部保号性
2. 严格保号性（严格大于或小于）
3. 推广： 当 $\lim_{n\to\infty}x_n>a\Rightarrow$ n无穷大时， $x_n>a$ 当 $\lim_{n\to\infty}x_n>\lim_{n\to\infty}y_n\Rightarrow$ n无穷大时， $x_n>y_n$

子列收敛： $\lim_{n\to\infty}x_n=a\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}x_{2n}=a$ 且 $\lim_{n\to\infty}x_{2n-1}=a\Leftrightarrow\lim_{n\to\infty}x_{3n}=a$ 且 $\lim_{n\to\infty}x_{3n-1}=a$ 且 $\lim_{n\to\infty}x_{3n-2}=a\Leftrightarrow\cdots$

无穷大处极限不存在的函数：

• $e^\infty\Rightarrow\begin{cases}\lim_{x\to+\infty}e^x=\infty \\\lim_{x\to-\infty}e^x=0\end{cases}\Rightarrow\lim_{x\to\infty}e^x$ 不存在
• $\arctan\infty\Rightarrow\begin{cases}\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}\\\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac{\pi}{2}\end{cases}$ 不存在

$\lim_{x\to\square}f(x)=A$ : 当 $x$ 在" $\square$ "附近取值时， $f(x)$ 与 A 无限接近

$\square$ 包括： $n\to\infty,x\to\infty,x\to+\infty,x\to-\infty,x\to x_0,x\to x_0^+,x\to x_0^-$

函数保号性推广： $\lim_{x\to x_0}f(x) > \lim_{x\to x_0}g(x)\Rightarrow$ 在 $x_0$ 附近， $f(x)>g(x)$

极限计算

四则运算法则：前置条件——极限都存在

条件放宽：

• 若 $\lim f(x)=A$ ，则 $\lim [f(x)\pm g(x)]=A\pm \lim g(x)$
• 若 $\lim f(x)=A\neq 0$ ，则 $\lim f(x)\times g(x) = A\times \lim g(x)$

推广： $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B, \lim h(x)=C$ ，则 $\lim[f(x)+g(x)+h(x)] = A+B+C\Rightarrow$ 四则运算的推广只能到有限个项

结论：收敛数列+收敛数列 = 收敛数列， 收敛数列+发散数列 = 发散数列， 发散数列+发散数列 = 不确定敛散性

此处直接将数列的敛散判断中的极限定义形式拿来类推

无穷小：无穷小与极限过程有关， 0 也是无穷小

无穷大：无穷大 $\Rightarrow$ 无界，无界 $\nRightarrow$ 无穷大

无穷小比较：

• $\beta=O(\alpha)\Leftrightarrow\lim{\beta}{\alpha}=0$
• $\alpha\sim\beta\Leftrightarrow\lim\frac{\beta}{\alpha}=1$

等价无穷小：乘除可以直接替换，加减先不用

常见等价替换使用技巧：

• $\square\to1\text{，}\ln(\square)=\ln(\square-1+1)\sim\square-1$
• $\square\to1\text{，}\square^\alpha-1=(1+\square-1)^\alpha-1\sim\alpha(\square-1)$
• $1-\cos^\alpha x = \frac{\alpha}{2}x^2$
• $\square\to\alpha$ 且 $\bigtriangleup\to\alpha\text{，}e^\square-e^\bigtriangleup=e^\bigtriangleup(e^{\square-\bigtriangleup}-1)\sim e^\alpha(\square-\bigtriangleup)$
• $x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^3\text{，}e^x-1-x\sim\frac{1}{2}x^2\text{，}x-\arctan x\sim\frac{1}{3}x^3$
• $\tan x-x\sim\frac{1}{3}x^3\text{，}\tan x-\sin x\sim\frac{1}{2}x^3\text{，}\tan x-\arctan x\sim\frac{2}{3}x^3$

  对于 $\arctan A\pm \arctan B$ ，有 $\arctan A\pm \arctan B=\arctan\frac{A\pm B}{1\mp AB}$

• $x-\ln(1+x)\sim\frac{1}{2}x^2\text{，}\arcsin x-x\sim\frac{1}{6}x^3$
• $x\to\infty$ 时， $e^{\lambda x}\gg x^n\gg \ln^m x(\lambda,m,n > 0)$

洛必达的使用：①先化简，再用洛必达②出现 $sinx,cosx$ 时，慎用洛必达

对于 $0\cdot\infty$ 型极限，常将 $0\cdot\infty$ 化为 $\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$ 或 $\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$

对于 $\infty-\infty$ 型（ $+\infty-(+\infty)$ 或 $-\infty-(-\infty)$ ）极限：有分式时需进行通分，无分式时进行倒代换： $x=\frac{1}{t}$

对于幂指函数（ $0^0,\infty^0,1^\infty$ ），使用 $e^{\ln}$ 进行替换，即： $u^v=e^{v\cdot \ln(u)}$

$0^0\Rightarrow0\cdot\infty\text{，}\infty^0\Rightarrow0\cdot\infty\text{，} 1^\infty\Rightarrow\begin{cases}v\to\infty,u\to1,& \infty\cdot0 \\u^v=e^{v\cdot \ln u}=e^{v(u-1)},& \ln u = \ln(1+u-1)=u-1\end{cases}$

已知： $u_1\to0,v_1\to0,u_1\sim u_2,v_1\sim v_2$ ，有 $u_1^{v_1}=e^{v_1\ln u_1}=e^{v_2\ln(\frac{u_1}{u_2}u_2)}=e^{\frac{\ln\frac{u_1}{u_2}+\ln u_2}{\frac{1}{v_2}}}=e^{\frac{\ln u_2}{\frac{1}{v_2}}}=e^{v_2\ln u_2}=u_2^{v_2}$

推广： $0^0$ 与 $\infty^0$ 中的 0 与上式一样，可以进行等价无穷小替换

泰勒展开： $f(x)=f(x_0)+\sum_{n=1}^{n}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)+o(x-x_0)^n$

麦克劳林公式：将泰勒展开中的 $x_0=0$

泰勒公式的使用：①先展开：展开阶数 1.上下同阶 2.展开至合并后 o() 前只保留一项 ②再合并

对于 $\frac{0}{0}$ 型极限：①先化简：运用四则运算等价替换 ②再计算：泰勒展开、洛必达

对于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限：①先抓大头（高阶项） ②再使用洛必达

对于 $0\cdot\infty$ 型极限：① $\frac{0}{\frac{1}{\infty}}$ 转为 $\frac{0}{0}$ ，② $\frac{\infty}{\frac{1}{0}}$ ，转为 $\frac{\infty}{\infty}$

对于 $\infty-\infty$ 型极限：①通分，转为 $\frac{0}{0}$ ②令 $x=\frac{1}{t}$ ，再通分，转为 $\frac{0}{0}$ ③根式有理化，转为 $\frac{0}{0}$

对于 $0^0, \infty^0$ 型极限：做 $u^v=e^{v\ln u}$ ，转为 $0\cdot\infty$

对于 $1^\infty$ 型极限：做 $u^v=e^{v\ln u}$，转为 $\infty\cdot0$

夹逼定理

本质：抓大头（使用时刻：大同小异）【即分母中最高项相同】

单调有界收敛准则（大胆猜想，小心验证）：

1. 分析：先求极限，结合题目中的条件分析出目标是单调增有上界还是单调减有下界
2. 证明：一般先证明有界性，证明有界性一般用归纳法，再证单调性（通过做差/做商）

连续

不连续的点 $\subset$ {不在定义域内，不是初等函数}

间断点寻找：①找可疑点，②判断（求左右极限）

是否满足 $f(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)$

$$\text{对于}\lim_{x\to x_0^-}f(x)\text{与}\lim_{x\to x_0^+}f(x)\begin{cases}\text{都存在},& 第一类间断点\begin{cases}\text{左极限}\neq\text{右极限}\neq f(x),& 可去间断点\\ \text{左极限}\neq\text{右极限},& 跳跃间断点\end{cases} \\ \text{至少有一个不存在}，& 第二类间断点 \begin{cases}\text{至少有一个是无穷大}, &\text{无穷间断点}\\ \text{震荡间断点}\end{cases} \end{cases}$$

导数与微分

导数与极限的充要条件：

$$\begin{align} &f^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\text{存在}&\Leftrightarrow \nonumber\\ &\text{对于}\square\to0^-\text{或}\square\to0^+, \lim_{\square\to0}\frac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\square}\text{存在}&\Leftrightarrow \nonumber\\ &\text{对于}\square\sim\bigtriangleup,\lim_{\square\to0}\frac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{\bigtriangleup}\text{存在}&\Leftrightarrow \nonumber\\ &\lim_{\square\to0}\frac{f(x_0+\square)-f(x_0)}{k\bigtriangleup}\text{存在} \nonumber \end{align}$$

其中 $\square$ ：①可左可右（奇数阶），②上下同阶，③一动一静

微分概念：

1. $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$
2. $\mathrm{d}y|_{x=x_0}=f^\prime(x_0)\Delta x, \mathrm{d}y=f^\prime(x_0)\mathrm{d}x$
3. $\mathrm{d}y$ 与 $\Delta y$ 的区别：从图像表示

抽象函数使用洛必达的技巧：

1. $f(x)$ n阶可导，则只能洛到n-1阶导
2. $f(x)$ n阶可导且n阶导数连续，则可以洛到n阶导

隐函数求导：式子两边同时对 $x$ 求导，将 $y$ 视为 $x$ 的函数

裂项技巧：

1. 当分母为两项相乘时，其之和/差为分子的倍数时，可以裂项
2. 分母为多次项相乘时，其中两项之和/差为分子的倍数，则刻裂项
3. 当分母两项次数不一致时，可以上下同乘因子再裂项

若两个函数相乘，其中一个为低阶的幂函数，则可以使用莱布尼茨公式

求高阶导：

1. 直接找规律
2. 用公式法求导
3. 用莱布尼茨公式：两个函数相乘
4. 泰勒函数
5. 函数有奇偶性

导数的应用

若 $f^\prime(0)>0$ ，不能说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近单调增，但因为 $f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}>0$ ，则 $\exists x_0>0, f(x_0)>f^\prime(0)$ 或 $\exists x_0<0,f(x_0)<f^\prime(0)$

要证明 $f(x)\ge g(x)\Leftrightarrow F(x)=f(x)-g(x)\ge 0\Rightarrow F(x)_{min}\ge 0$ ，利用单调性证明

要证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上大于 0 ：

1. $F(a)=0$ ，即证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增
2. $F(b)=0$ ，即证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减
3. $F(c)=0, c\in(a,b)$ ，即证 $F(x)$ 在 $[a,c]$ 上单调减，在 $[c,b]$ 上单调增
4. $F(a)=F(b)=0$ ，即证 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸函数

   （例）证 $x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x\ge1+\frac{x^2}{2}, (-1<x<1)$

   令 $F(x)=x\ln\frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^2}{2}, F(0)=0$

   且 $F(x)$ 为偶函数

极值点 $\subset$ {驻点，不可导点}

求 $f(x)$ 的单调区间及极值点：

1. 求定义域
2. 求导，找到驻点及不可导点
3. 根据上述点划分区间
4. 区间上判断单调性

找极值点：

1. 找可能的点（驻点，不可导点）
2. 判断：①第一充分条件：具体函数，分段函数，②第二充分条件：抽象函数，隐函数

最值点 $\subset$ {驻点，不可导点，端点}

拐点 $\subset$ {二阶导为 0 的点，二阶导不存在的点}

渐近线寻找的顺序：先找垂直渐近线，再找水平渐近线，最后找斜渐近线

求分段函数在某处的导数，采用导数的定义求解

$f(x)$ 为只含有绝对值的函数， $g(x)$ 为 $f(x)$ 去掉绝对值后的函数，判断 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处是否可导，看去掉绝对值之后，是否是原函数的高阶无穷小，即：

$$f(x)\text{可导}\Leftrightarrow g(x)-g(x_0)=o(x-x_0)$$

不定积分

连续函数一定存在原函数，原函数必定是连续函数

不定积分主要是寻找一个导数关系，如 $\varphi(x)\mathrm{d}x=1\cdot\mathrm{d}\varphi(x)$ ，当括号里的函数求导为括号外函数的一个倍数时，可将 $\mathrm{d}$ 后面直接凑成括号里面的函数

第二类换元积分法主要用于解决含有根号的积分问题，根号下既有一次又有二次，则先配分，再做三角代换

分部积分法的使用时机：①只要积分中出现 $\ln$ 与反三角函数，必然使用分部积分，②出现两种函数相乘时，使用分部积分： $\int uv^\prime\mathrm{d}x = uv-\int u^\prime v\mathrm{d}x$

上式中，u 需选取求导简单的函数，v 需要选取容易积分的函数

u 选取的原则：反函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数 ( $\arctan x \gg\ln x\gg x^n\gg e^x\gg\sin x$ )

拆分运算（真分式）：

• 分母形如 $(x-a)(x-b)^2(x^2+cx+d)$ 等有不可分解因式的项
• 分子比分母的次数低
• 将分式拆分为： $\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{(x-b)^2}+\frac{Dx+E}{x^2+cx+d}$ 的形式
• 求参与通分步骤：对比最高次前的系数，赋值进行运算

形如 $\frac{Dx+E}{x^2+cx+d}$ 的积分运算：

1. 将分子拆分成两部分：一部分为分母求导的倍数，一部分为常数
2. 对于常数部分，分母做配分处理

   $\int\frac{c\sin x+d\cos x}{a\sin x+b\cos x}\mathrm{d}x = \int\frac{A(a\cos x+b\sin x)}{a\sin x+b\cos x}\mathrm{d}x + \int\frac{B(a\cos x-b\sin x)}{a\sin x+b\cos x}\mathrm{d}x$

$\int\sin^n x\cos^m x\mathrm{d}x\begin{cases}m,n\text{有一个奇数},&\text{凑微分}\\ m,n\text{全是偶数},&\text{降次}\end{cases}$

$\int\frac{f(\sin x)}{\cos x}\mathrm{d}x=\int\frac{f(\sin x)\cos x}{\cos^2x}\mathrm{d}x=\int\frac{f(\sin x)\mathrm{d}\sin x}{1-\sin^2x}$

$\int f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x=\int f(\sin x)\mathrm{d}\sin x$

$\int\frac{1}{\sin^n x\cos^m x}\mathrm{d}x\begin{cases}m,n\text{有一个奇数},&\text{凑微分(上下同乘cosx/sinx)}\\ m,n\text{全是偶数},&\text{转化为}\tan^m x\sec^n\begin{cases}\sec^2x\mathrm{d}x=\mathrm{d}\tan x\\ \sec^2x=1+tan^2x\\ \sec x\tan x\mathrm{d}x=\mathrm{d}\sec x \end{cases}\end{cases}$

当分子为常数，分母为关于 $\sin x,\cos x$ 的二次项，则上下同除 $\cos^2x$

三角函数万能公式

令 $t=\tan\frac{x}{2}$ ，有 $x=2\arctan\frac{t}{2}, \mathrm{d}x=2\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t, \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

不定积分总体步骤

有理函数（真分式）积分：①裂项，②拆分（待定系数法）

指数有理式 $f(e^x)$ 积分：令 $e^x=t$ 将其化为有理函数积分

三角有理式积分：通过万能公式转化为有理函数积分，或通过凑微分、降次、转化为有理函数积分

根式有理式积分：

• $\sqrt{ax+b}$ ，令 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$
• $\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2}$ ，直接三角化
• $\sqrt{ax^2+bx+c}$ ，先配分，再三角化

定积分

定义

定积分的定义式： $\int_0^1f(x)\mathrm{d}x=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n})=\sum^n_{i=1}\frac{1}{n}f(\frac{2i-1}{2n})=\sum^{2n}_{i=1}\frac{1}{2n}f(\frac{i}{2n})$

上式中， $\frac{1}{n}$ 为区间长度，表示将 $[0,1]$ 的函数分割为 n 份，同理 $\frac{1}{2n}$ 为分割为 2n 份

$\frac{i}{n}$ 表示为每个分段的右端点， $\frac{i-1}{n}$ 表示为左端点， $\frac{2i-1}{2n}$ 为中点

改写定积分形式的步骤：大不同（即分母出现大不同的时候，使用定积分的定义式）

1. 写出求和的形式
2. 分出 $\sum\frac{1}{n}f(\frac{i}{n})$
3. 将 $\frac{1}{n}$ 给移出，令 $\frac{i}{n}$ 为 $x$ ，继续在 (0,1) 上积分

由此得到了另一种数列极限的计算方式

数列极限的计算方式：1. 直接计算 $n\to x$ ，2. 使用夹逼（①分母大同小异，即抓大头，②出现了不等关系），3. 使用定积分的定义式（计算和式极限，分母大不同），4. 利用单调有界性证明极限存在

对于幂级数 $p(n)$ ，有 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|p(n)|}=1$

积分不等式比较：积分的绝对值 $\le$ 绝对值的积分，即对于 $a<b$ 有 $|\int_a^bf(x)\mathrm{d}x|\le\int_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$

在定积分换元法中，积分的上下限也需要换元，如：

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}t,\text{令}x=t-\frac{\pi}{2},\text{原式}=\int^0_{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{\cos t+\sin t}\mathrm{d}(-t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin t}{\cos t+\sin t}\mathrm{d}t$$

变上限积分函数中，被积函数可以进行等价替换，上限中的函数也可以进行等价替换

对于变限函数等抽象函数计算 $\frac{0}{0}$ 型极限的问题，在使用洛必达前，需要检查洛必达使用的条件，若不满足洛必达使用的条件时，则：

• 若被积函数不趋于0，可以使用积分中值定理
• 可以上下同时除因子，再分别计算极限（最简项除因子后极限不能为0）

变限积分

对于形如 $\Phi(x)=\int_a^xf(t)\mathrm{d}t$ 的变限积分函数，有如下性质：

• $\Phi(x)$ 必然是连续的
• 若 $f(t)$ 也是连续的，则 $\Phi(x)$ 必然是可导的，且 $\Phi^\prime(x)=f(x)$
• 若 $f(t)$ 仅有可去间断点，则 $\Phi(x)$ 也是可导的，但是 $\Phi^\prime(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$

  当且仅当是有限个可去间断点时，才有该性质

积分内包括含有 $x$ 的变限积分时，需要保证被积函数的纯洁性（即保证被积函数不含变量 $x$，仅含积分元 $t$ ）：

1. 提： $(\int_0^xxf(t)\mathrm{d}t)^\prime=(x\int_0^xf(t)\mathrm{d}t)^\prime=xf(x)+\int_0^xf(t)\mathrm{d}t$
2. 拆： $(\int_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t)^\prime=(x\int_0^xf(t)\mathrm{d}t-\int_0^xtf(t)\mathrm{d}t)^\prime$
3. 换： $(\int_0^xf(x-t)\mathrm{d}t)^\prime$ ，令 $u=x-t$ ，有 $(\int_x^0f(u)\mathrm{d}(-u))^\prime=(\int_0^xf(u)\mathrm{d}u)^\prime$
4. 凑： $(\int_0^xt^{n-1}f(x^n-t^n)\mathrm{d}t)^\prime=(-\frac{1}{n}\int_0^xf(x^n-t^n)\mathrm{d}(x^n-t^n))^\prime$ ，令 $x^n-t^n=u$ ，有 $(-\frac{1}{n}\int^0_{x^n}f(u)\mathrm{d}u)^\prime$

华理士公式（点火公式）

$$\begin{align} I&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}t \nonumber\\ &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-1}x\mathrm{d}\sin x \nonumber\\ &=\sin x\cos^{n-1}x|_0^{\frac{\pi}{2}}-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\mathrm{d}\cos^{n-1}x \nonumber\\ &=-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^{n-2}x(n-1)(-\sin x)\mathrm{d}x \nonumber\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\cos^2x)\cos^{n-2}\mathrm{d}x \nonumber\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}\mathrm{d}x-(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x \nonumber\\ &=(n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}\mathrm{d}x-(n-1)I \nonumber\\ \therefore&\space n\cdot I_n=(n-1)I_{n-2} \nonumber\\ \therefore&\space I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} \nonumber\\ \Rightarrow I_7&=\frac{6}{7}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot I_1, I_1=1 \nonumber\\ I_4&=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot I_0, I_0=\frac{\pi}{2} \nonumber \end{align}$$

$\int_0^\pi\cos^nx\mathrm{d}x=\begin{cases}2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x,&n\text{为偶数}\\0,&n\text{为奇数} \end{cases}$

$\int_0^{2\pi}\sin^nx\mathrm{d}x=\int_0^{2\pi}\cos^nx\mathrm{d}x=\begin{cases}4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\mathrm{d}x,&n\text{为偶数}\\0,&n\text{为奇数} \end{cases}$

对于 $\int^\pi_{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\mathrm{d}x$ ，令 $x=\pi-t$ ，有 $\int^{\frac{\pi}{2}}_0f(\sin x)\mathrm{d}x$

对于 $\int^\pi_0xf(\sin x)\mathrm{d}x$ ，令 $x=\pi-t$ ，有 $\int^0_\pi(\pi-t)f(\sin(\pi-t))\mathrm{d}(-t)=\int_0^\pi(\pi-t)f(\sin(t))\mathrm{d}t=\pi\int_0^\pi f(\sin(t))\mathrm{d}t-\int_0^\pi xf(\sin(x))\mathrm{d}x$ ，故有 $2\int^\pi_0xf(\sin x)\mathrm{d}x=\pi\int_0^\pi f(\sin(t))\mathrm{d}t\Rightarrow\int^\pi_0xf(\sin x)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin(t))\mathrm{d}t$

对于 $\int^{2\pi}_0f(\cos x)\mathrm{d}x$ ，令 $x=2\pi-t$ ，有 $\pi\int^{2\pi}_0f(\cos x)\mathrm{d}x$

反常积分

反常积分的计算：拆至每一个积分上仅有一个瑕点，且该瑕点在端点上，其中， $x\to\infty$ 为广义上的瑕点，也可以在端点上。拆完后再进行正常的计算即可。

反常积分标准型的敛散性质：

$$\begin{cases} \begin{align} \begin{cases} \int^{+\infty}_a\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\Rightarrow\nonumber \begin{cases} p>1,&\text{收敛}\nonumber\\ p\le1,&\text{发散}\nonumber \end{cases}\\ \int_0^a\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x, (a>0)\Rightarrow\nonumber \begin{cases} p<1,&\text{收敛}\nonumber\\ p\ge1,&\text{发散}\nonumber \end{cases} \end{cases} \end{align}\\ \begin{cases} \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p\ln^qx}\mathrm{d}x, (a>1)\Rightarrow\nonumber \begin{cases} p>1,&\text{收敛}\nonumber\\ p<1,&\text{发散}\nonumber\\ p=1&\begin{cases}q>1,&\text{收敛}\nonumber\\q\le1,&\text{发散}\nonumber\end{cases} \end{cases}\\ \int_0^a\frac{1}{x^p\ln^qx}\mathrm{d}x (0<a<1)\Rightarrow\nonumber \begin{cases} p<1,&\text{收敛}\nonumber\\ p>1,&\text{发散}\nonumber\\ p=1&\begin{cases}q>1,&\text{收敛}\nonumber\\q\le1,&\text{发散}\nonumber\end{cases} \end{cases} \end{cases} \end{cases}$$

反常积分判敛方法：

1. 大收则小收，小发则大发。对于 $f(x)\ge g(x)\ge0$ ，则有 $\begin{cases}\int_a^{+\infty}f(x)\text{收敛}\Rightarrow\int_a^{+\infty}g(x)\text{收敛}\\\int_a^{+\infty}g(x)\text{发散}\Rightarrow\int_a^{+\infty}f(x)\text{发散}\end{cases}$
2. 同阶同敛散，低收则高收。对于 $\int_0^1\frac{1}{\sin^3x}\mathrm{d}x$ ，当 $x\to0$ 时，有 $\frac{1}{\sin^3x}\sim\frac{1}{x^3}$ ，故原式 $=\int_0^1\frac{1}{x^3}\mathrm{d}x$ ，发散。

比较敛散法：①找瑕点，②在每个瑕点上进行等价替换，③对比公式

定积分的应用

极坐标方程转化 求面积、体积 圆心 质心

(待扩充)

中值定理

零点定理使用条件：开区间

介值定理使用条件：闭区间

平均值定理： $f(\xi)=\frac{1}{n}(f(x_1)+f(x-2)+\cdots f(x_n))$

罗尔定理的使用场景：单中值的等式的证明（证明导数为 0）

拉格朗日中值定理的使用场景：①出现了 $f(b)-f(a)$ ，②证明一个不等式

柯西中值定理的使用场景：证明两类函数的关系

罗尔定理的证明步骤：先看结论，确认对应的中值定理，再构造辅助函数，找特殊点

辅助函数的构造步骤：①换元，令 $\xi\to x$ ，②凑 $\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$ ，③找原函数，④合并，⑤去掉最终函数中的 $\ln$

若条件中包含积分，则采用积分中值定理

单中值等式的证明方法：

1. 只含有 $f(\xi)$ ，利用闭区间连续函数的性质（用零点定理，介值定理）
2. 只含有 $f^\prime(\xi)$ ，采用罗尔中值定理
3. 包含了 $f^\prime(\xi), f(\xi), \lambda$ ，需要凑 $\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$ ，再使用罗尔定理
4. 只包含 $f^{\prime\prime}(\xi)$ ，在 $f(x)$ 中找三个相同函数值的点，用三次罗尔定理进行证明
5. 只含有 $f^\prime(\xi), f^{\prime\prime}(\xi)$ ，需要凑 $\frac{f^{\prime\prime}(x)}{f^\prime(x)+\lambda}$ ，再使用罗尔定理
6. 只含有 $f(\xi), f^{\prime\prime}(\xi)$ ，需再加一个 $f^\prime(x)$ ，再凑辅助函数

   如有 $f^{\prime\prime}(\xi)-f(\xi)=0$ ，则可变形为 $f^{\prime\prime}(\xi)+f\prime(\xi)-f^\prime(\xi)-f(\xi)=0\Rightarrow\frac{f^{\prime\prime}(\xi)-f^\prime(\xi)}{f^\prime(\xi)-f(\xi)}=0$

双中值等式的证明方法：

1. 若 $\xi,\eta$ 具有轮换对称性，且要求 $\xi,\eta$ 互不相同：对同一个函数，不同的区间， 两次使用拉格朗日中值定理
2. 若 $\xi,\eta$ 不具有轮换对称性，且不要求 $\xi,\eta$ 互不相同：对不同的函数，相同的区间，两次使用柯西中值定理

泰勒中值定理

• 使用时机：①有高阶导（二阶及以上），②式子中同时出现函数值、一阶导、二阶导
• 使用方法：①展开函数，②展开点 $x_0$ 的选取：哪一个点的条件最多，就在哪个点展开（一般取中点），③ $x$ 的取值：结合题目条件（一般带入端点）

常数不等式的证明：将常数不等式转换为函数不等式（将较大的常数转化为变量）

零点个数证明题：

• 如 $f(x)$ 有 $n$ 个零点，则 $f^\prime(x)$ 至少有 $n-1$ 个零点（罗尔定理）
• 若 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 重零点，则 $x=x_0$ 为 $f^\prime(x)$ 的 $n-1$ 重零点
• $n$ 次多项式，最多只有 $n$ 个零点

定积分等式证明：区间再现公式（变量代换）

• 平行代换：对于 $\int^\pi_{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x$ ，令 $t=x-\frac{\pi}{2}$ ，有 $\int^\frac{\pi}{2}_0\mathrm{d}t$
• 做差代换：如令 $x+t=1$
• 交叉代换：如令 $x=-t$ ，如 $\int^a_{-a}f(d)\mathrm{d}x=\int^a_0[f(x)+f(-x)]\mathrm{d}x$ （对称区间，无奇偶性）
• 倒代换：如令 $x=\frac{1}{t}$

微分方程

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

识别方法：① $x,y$ 可以分开，② $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$

求解方法：将 $x,y$ 分开后两边同时积分

齐次方程

识别方法：① $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi(\frac{y}{x})$ ，②次数一致 $(x,y)$

求解方法：令 $\frac{y}{x}=u, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$ ，转为可分离变量的微分方程

一阶线性微分方程

识别方法：① $y^\prime+p(x)y=q(x)$ ，②只有一阶，一次 $(y,y^\prime)$

求解方法：公式法直接求解： $y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}[\int e^{\int p(x)\mathrm{d}x}q(x)\mathrm{d}(x+C)]$

高阶微分方程

二阶线性微分方程

形式： $y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f(x)$

• $f(x)=0$ 时，为二阶线性齐次微分方程
• $f(x)\ne0$ 时，为二阶线性非齐次微分方程

叠加原理

若 $y_1$ 为 $y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f_1(x)$ 的解， $y_2$ 为 $y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f_2(x)$ 的解，则 $k_1y_1+k_2y_2$ 为 $y^{\prime\prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=k_1f_1(x)+k_2f_2(x)$ 的解。

若 $y_1$ 是齐次方程的解， $y_2$ 也是齐次方程的解，则 $y_1+y_2$ 还是齐次方程的解。当 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关时， $C_1y_1+C_2y_2$ 是齐次方程的通解 $\Rightarrow$ $n$ 阶齐次微分方程的通解为 $n$ 个线性无管的解的线性组合

若 $y_1$ 是齐次方程的解， $y_2$ 是非齐次方程的解，则 $y_1+y_2$ 是非齐次方程的解。非齐次方程的通解：齐次方程的通解+非齐次方程的特解。（齐通+非齐特）

若 $y_1,y_2,\cdots,y_s$ 均为非齐次方程的解：

1. 若 $k_1+k_2+\cdots+k_s=0$ ，则 $k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_sy_s$ 为齐次方程的解
2. 若 $k_1+k_2+\cdots+k_s=1$ ，则 $k_1y_1+k_2y_2+\cdots+k_sy_s$ 为非齐次方程的解

非齐次方程+非齐次方程=非齐次方程 $\Rightarrow$ 非齐次方程-非齐次方程=齐次方程

微分方程的应用

应用方式：①列方程，②解方程

题型：①与微分学进行结合，②与积分学进行结合，③与物理应用进行结合

(例) $f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y)$

$f(0)=f(0)+f(0)$

$f^\prime(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{e^{\Delta x}f(x)+e^xf(\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

$=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(e^{\Delta x}-1)f(x)}{\Delta x}+\lim_{\Delta x\to0}\frac{e^xf(x)}{\Delta x}=f(x)+e^x\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x-0}$

故有 $f^\prime(x)=f(x)+e^xf^\prime(0)$ ，即 $y^\prime-y=f^\prime(0)e^x$

多元函数微分学

二元极限的计算：①等价替换，②无穷小 $x$ 有界，③夹逼

对于 $\lim_{x\to0,y\to0}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}$ ( $\frac{0}{0}$ )型，其中， $f,g$ 均为 $x,y$ 的多项式，且 $g(x,y)>0$ ，则：

• 若 $f$ 次数 $>g$ 次数，则 $\lim=0$
• 若 $f$ 次数 $\le g$ 次数，则 $\lim$ 不存在

全微分

判断 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是否可微的步骤：①求两个偏导数： $A=f^\prime_x(x_0,y_0), B=f^\prime_y(x_0,y_0)$ ，②验证： $\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}\frac{\Delta z-A\Delta x-B\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$ 是否为0

求 $f(x,y)$ 极值：①找可疑点，②判断 $AC-B^2$

二阶可微的微分方程

形如 $y^{\prime\prime}=f(x,y^\prime)$ 型的微分方程（缺 $y^\prime$ ），令 $y^\prime=p$ ，则 $y^{\prime\prime}=p^{\prime}$ ，有 $p^{\prime}=f(x,p)$

形如 $y^{\prime\prime}=f(y,y^\prime)$ 型的微分方程（缺 $x$ ），令 $y^\prime=p$ ，则 $y^{\prime\prime}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\cdot\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$

条件极值

拉格朗日乘数法

求 $f(x,y,z)$ 在约束条件 $\phi(x,y,z)=0$ 下的极值

1. 构造 $L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda\phi(x,y,z)$
2. 令 $L^\prime_x=0,L^\prime_y=0,L^\prime_z=0,L^\prime_\lambda=0$
3. 解 2 中得到的方程组，所得的解即为驻点

代入法

有多个约束条件，可以将其中一个条件中的变量由其他条件中的变量代入

闭区域最值

对于一元函数 $y=f(x)$ ，在区间 $[a,b]$ 上连续，其最值点 $\subset$ {端点，驻点，不可导点}

对于二元函数 $z=f(x,y)$ ，在区域 $D$ 上连续，其最值点 $subset$ {边界，驻点}

边界：条件极值 驻点：无条件极值

重积分

二重积分的计算方式

上下型区域（x型） $\phi_1(x)\le y\le\phi_2(x),x\in(a,b)$

• $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}x\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y$

左右型区域（y型） $\phi_1(y)\le x\le\phi_2(y),y\in(a,b)$

• $\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_a^b\mathrm{d}y\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x$

定限方式：①从大到小，②先定限的为定限变量的函数，③后定限的为常数

极坐标中的计算：当积分区间与圆相关，或者被积函数为 $f(x^2+y^2)$ 时，可以转为极坐标形式进行积分，计算的顺序是先对 $r$ 进行积分，再对 $\theta$ 进行积分

奇偶性

当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称（ $y$ 的取值对称）

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \begin{cases} 0,&f(x,y)\text{关于}y\text{是奇函数}\\ 2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,&f(x,y)\text{关于}y\text{是偶函数} \end{cases}$$

当积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称（ $x$ 的取值对称）

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \begin{cases} 0,&f(x,y)\text{关于}x\text{是奇函数}\\ 2\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,&f(x,y)\text{关于}x\text{是偶函数} \end{cases}$$

当积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴 $y$ 轴都对称

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y= \begin{cases} 0,&f(x,y)\text{关于}x,y\text{有一个奇函数}\\ 4\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,&f(x,y)\text{关于}x,y\text{全是偶函数} \end{cases}$$

考察：①若积分区域 $D$ 有对称性，直接使用奇偶性；②若积分区域 $D$ 不具有对称性，但被积函数关于 $x,y$ 均为基函数，可将积分区域 $D$ 拆成对称区域，再使用对称性；③若积分区域 $D$ 无法作图，但表达式中将 $x$ 换为 $-x$ ， $y$ 换为 $-y$ ，表达式不变，则可以对 $x,y$ 使用对称性

轮换对称性

若 $f(x,y)$ 连续，积分区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则有：

$$\iint_Df(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_Df(y,x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\iint_D[f(x,y)+f(y,x)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

若 $f(x,y)=f(y,x)$ ，则 $\iint_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_{D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{2}\iint_{D_1+D_2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

二重积分的不同计算方式

计算时，先画出积分区域 $D$ ，再观察是否具有对称性，再选择是否需要更换坐标系（极坐标系/直角坐标系）

对于直角坐标系转化为极坐标系（积分区域 $D$ 与圆相关或被积函数为 $f(x^2+y^2)$ ）计算，需先进行坐标变换（ $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ ），再进行定限分析

对于直角坐标系计算的选取，需保证：①避免分类讨论；②第一次积分的计算比较简单

对于分段函数的二重积分计算，需要分区域分别进行计算

对于交换积分次序以及坐标系变换的积分题，需画出积分区域 $D$ 再进行判断

级数

常数项级数

常数项级数：若 $\sum^\infty_{n=1}u_n$ 收敛，则 $\begin{cases}\lim_{n\to\infty}S_n=A\\ \lim_{n\to\infty}u_n=0\end{cases},\lim_{n\to\infty}S_n=\sum^\infty_{n=1}u_n$

常数项级数的判敛方法：①求 $S_n$ ；②求 $\lim_{n\to\infty}S_n$

只能解决 $S_n$ 可以计算的级数：可以裂项的级数、等比/等差数列级数

正项级数

正项级数的判敛方法：

1. 比较判敛法：大收则小收，小发则大发
2. 极限形式：同阶同敛散，低收则高收
3. 比值判别法（ $u_n$ 中含有 $n!$ ）
4. 根植判别法（ $u_n$ 中不含 $n!$ ）
5. 积分判别法（当 $f(n)=\frac{1}{n^p\ln^q(n)}$ 时）

正项级数的性质：

1. 如果级数
2. 乘以非零常数，不改变其敛散性
3. 收敛+收敛=收敛；收敛+发散=发散；发散+发散=不确定
4. 在级数中加入或去掉有限项，不会该表级数的敛散性
5. 加括号提高收敛性

   $\begin{cases}\text{若}\sum^\infty_{n=1}u_n\text{收敛，}\sum^\infty_{n=1}u_{2n}\text{ 不确定（无限项）}\\\text{若}\sum^\infty_{n=1}u_n\text{收敛，}\sum^\infty_{n=1}\frac{u_n+u_{n+1}}{2}\text{ 收敛（有限项)}\\\text{若}\sum^\infty_{n=1}u_n\text{收敛，}\sum^\infty_{n=1}(u_{2n+1}-u_{2n-1})\text{，有}S_n=u_{2n+1}-u_1=-u_1\text{，收敛}\end{cases}$

求 $\sum^\infty_{n=1}u_n$ 敛散性的步骤：先判断 $u_n$ 时候大于 $0$ ，若是，则可用正项级数判敛法。若不是，先判断 $\sum^\infty_{n=1}|u_n|$ 是否收敛，如是，则是绝对收敛；若不是，用莱布尼茨判断收敛，如是，则为条件收敛，否则为发散。

若 $\sum^\infty_{n=1}a_n$ 绝对收敛， $\sum^\infty_{n=1}b_n$ 条件收敛，则 $\sum^\infty_{n=1}a_nb_n$ 绝对收敛

$\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n||b_n|}{|b_n|}=\lim_{n\to\infty}|a_n|=0$

幂级数

收敛半径的计算公式：

1. 比值法： $\sum^\infty_{n=1}a_nx^{kn+b},\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[k]{|\frac{a_{n+1}}{a_n}|},R=\frac{1}{\rho}$ ，级数中含有 $n!$
2. 根值法： $\sum^\infty_{n=1}a_nx^{kn+b},\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[kn]{|a_n|},R=\frac{1}{\rho}$ ，级数中没有 $n!$

和函数

逐项积分与逐项求导后，收敛区间不变，但是两端点处的敛散性可能会改变

求 $\sum^\infty_{n=1}a_nx^n$ 的和函数

题型一： $a_n$ 为多项式，当分子中有 $n$ 时，对和积分，当分母中有 $n$ 时，对和求导，消除 $n$

题型二： $a_n$ 中含有 $n!$ ，凑 $e^x,\sin x,\cos x$ 的展开式（常数项级数转为幂级数，再求和，最后代入 $x$ 值）

对于 $\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n!}$ ，有 $S(x)=\sum^\infty_{n=1}\frac{x^n}{n!}=e^x-1\therefore S(1)=e-1$

题型三：若 $a_n$ 为抽象数列，需要凑出微分方程（本质上考察幂级数的合并）

1. 先统一次数
2. 再统一起点
3. 最后进行合并

题型四：将函数展开为幂级数

• 凑公式，直接展开
• 结合求导进行展开
• 结合积分进行展开

线性代数部分

行列式

定义：行列式代表一个数，所有取自不同行、不同列元素之积的 $n!$ 项的代数和。

对角线原则：沿行列式的主对角线的乘积前代数系数为正，沿副对角线方向的乘积前的代数系数为负。对角线原则只适用于二阶、三阶行列式与三角行列式

沿主对角线的上/下三角行列式：

$$\begin{vmatrix} a_{11}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \\ \vdots & \cdots & \cdots & \ddots \\ a_{n1} & a_{n2 }& \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12 }& \cdots & \cdots & a_{1n}\\ & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\ && a_{33} & \cdots & a_{3n}&\\ &&& \ddots &\vdots \\ &&&& a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdots a_{nn}$$

沿副对角线的上/下三角行列式：

$$\begin{vmatrix} &&&&a_{1n}\\ &&&a_{2,n-1} & a_{2n}\\ &&a_{3,n-2} & a_{3,n-1} & a_{3n} & \\ & .\cdot{}^{\,\displaystyle{}.} & \cdots & \cdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2 }& \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12 }& \cdots & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n-1} \\ a_{31} & \cdots & a_{3,n-2}&\\ \vdots & .\cdot{}^{\,\displaystyle{}.} \\ a_{n1} \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}\cdot a_{2,n-1}\cdot a_{3,n-2}\cdots a_{n1}$$

行列式数乘：对于 $n\times n$ 的 $A$ ，有 $|kA|=k^n|A|$

余子式 $M_{ij}$ ： $n-1$ 阶行列式，与 $a_{ij}$ 的取值无关，但与 $a_{ij}$ 位置有关

代数余子式： $(-1)^{i+j}M_{ij}$

当行列式中某行（列）最多有 $2$ 个非零元素时，可以直接展开（找“1”，化“0”，展开）

范德蒙行列式

识别：①每行（列）均为等比数列，②首项均为1

求解：后面的公比减前面的公比再相乘

$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\a^2 & b^2 & c^2 & d^2 & e^2 \\a^3 & b^3 & c^3 & d^3 & e^3 \\a^4 & b^4 & c^4 & d^4 & e^4 \\a^5 & b^5 & c^5 & d^5 & e^5\end{vmatrix}$

特殊行列式计算

爪型行列式：利用对角线元素，转化为上下三角行列式

$$\begin{vmatrix} x & x & x & x & x \\ x & x & & & \\ x & & x & & \\ x & & & x & \\ x & & & & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} & & & & x \\ & x & & & x \\ & & x & & x \\ & & & x & x \\ x & x & x & x & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & & & & x \\ x & & & x & \\ x & & x & & \\ x & x & & & \\ x & x & x & x & \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & x & x & x & x \\ & & & x & x \\ & & x & & x \\ & x & & & x \\ x & & & & x \end{vmatrix}$$

对角线行列式（除对角线元素外，其余元素对应成比例）：利用行列式性质，转为爪型行列式，再变为上下三角行列式

点斜式行列式：按点所在的行（列）进行展开

$$\begin{vmatrix} x & & & & x \\ & & & x & x \\ & & x & x & \\ & x & x & & \\ x & x & & & \end{vmatrix} \begin{vmatrix} & & & x & x \\ & & x & x & \\ & x & x & & \\ x & x & & & \\ x & & & & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & & & & x \\ x & x & & & \\ & x & x & & \\ & & x & x & \\ & & & x & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & x & & & \\ & x & x & & \\ & & x & x & \\ & & & x & x \\ x & & & & x \end{vmatrix}$$

三线性行列式：（结合递推公式）①找到 $D_{n-1}$ 确定展开位置（一般按第一行/列展开）；②得到递推公式，再迭代，找规律

$$\begin{vmatrix} x & & & & x \\ x & x & & & x \\ & x & x & & x \\ & & x & x & x \\ & & & x & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & x & x & x & x \\ x & x & & & \\ & x & x & & \\ & & x & x & \\ & & & x & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} x & & & & x \\ x & & & x & x \\ x & & x & x & \\ x & x & x & & \\ x & x & & & \end{vmatrix} \begin{vmatrix} & & & x & x \\ & & x & x & \\ & x & x & & \\ x & x & & & \\ x & x & x & x & x \end{vmatrix}$$

三对角线型行列式：①找到 $D_{n-1}$ 确定展开位置（一般按第一行/列展开）；②得到递推公式（ $D_n,D_{n-1},D_{n-2}$ ）；③凑等比数列，并求之；④得到新的递推公式（ $D_n,D_{n-1}$ ），再迭代，找公式

$$\begin{vmatrix} x & x & & & \\ x & x & x & & \\ & x & x & x & \\ & & x & x & x \\ & & & x & x \end{vmatrix} \begin{vmatrix} & & & x & x \\ & & x & x & x \\ & x & x & x & \\ x & x & x & & \\ x & x & & & \end{vmatrix}$$

矩阵

矩阵与行列式对比：

行列式	矩阵
数	数表
行数=列数	行数与列数不一定相等
$❘A❘$	$A_{n\times m}$

矩阵乘法

矩阵乘法 $A\times B=C$ ：

• 判断能不能相乘： $A$ 的列数= $B$ 的行数
• 乘后的类型： $A_{n\times s}\times B_{s\times m}=C_{n\times m}$
• $C_{ij}$ : $A$ 的第 $i$ 行乘 $B$ 的第 $j$ 列

满足的定律：结合律、分配律

不满足的定律：交换律、消去

$\begin{cases}AB\nRightarrow BA\\AB=0\nRightarrow A=0\text{ or }B=0\\AB=BC\nRightarrow A=0\text{ or } B=C\end{cases}$

对于 $A\times B=C$ 有：

• 若 $A$ 是单行矩阵， $B$ 是单列矩阵，则 $C$ 为一个数
• 若 $A$ 是单列矩阵， $B$ 是单行矩阵，则 $C$ 为一个矩阵（各行各列成比例）

将任意方阵 $A$ 主对角线上元素的和记为一个特殊的数，成为矩阵的迹，记为 $tr(A)$

矩阵乘法的性质

$a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\begin{pmatrix}a_1\space a_2\space a_3\space\cdots\space a_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3 \\\vdots \\b_n\end{pmatrix}$ 对于单列矩阵 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ ，有 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=\begin{pmatrix}k_1\space k_2\space k_3\space\cdots\space k_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha_1 \\\alpha_2 \\\alpha_3 \\\vdots \\\alpha_n\end{pmatrix}$

对于 $A\times B=C$ ，有 $C$ 的列可由 $A$ 的列线性表示； $C$ 的行可由 $B$ 的行线性表示

$A_{m\times s}\cdot B_{s\times n}=0\Rightarrow\begin{cases}r(A)+r(B)\le s\\B\text{的列向量为}Ax=0\text{的解}\begin{cases}\text{若 }A\text{ 为方阵，}B\ne0\text{，则 }\lambda A=0\text{，且 }B\text{ 的列为 }\\\lambda A=0\text{ 的特征向量}\\(A-\lambda E)B=0\text{，}A\text{为方阵，}B\ne0\text{，则}\lambda_A=\lambda\\\text{，}B\text{ 的列为}\lambda_A=\lambda\text{ 的特征向量，且 }\lambda\text{ 为重数，}\\\text{至少为 }r(B)\text{重}\end{cases}\end{cases}$

对于 $A=\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}$ ， $A^n(n\ge3)=0$ ，对于 $A=\begin{pmatrix}0&0&0\\ a&0&0\\ b&c&0\end{pmatrix}$ ， $A^n(n\ge3)=0$

有 $A=\begin{pmatrix}\lambda&a&b\\0&\lambda&c\\0&0&\lambda\end{pmatrix}=\lambda E+\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{pmatrix}=\lambda E+B\therefore A^n=(\lambda E+B)^n=C_n^0(\lambda E)^n+C_n^1(\lambda E)^{n-1}B+C_n^2(\lambda E)^{n-2}B^2$

$A^*\begin{cases}\text{由 }A\text{ 的代数余子式组成 }|A^*|=|A|^{n-1}\\\text{行列要互换}\end{cases}$

$\begin{cases}\text{① }AB=BA=E\begin{cases}\text{可逆的判定}\\\text{求逆矩阵}\end{cases}\\\text{② 方阵}\end{cases}$

逆矩阵的唯一性（反证法）

$$\begin{align} &\text{设 }B_1,B_2(B_1\ne B_2)\text{ 均为逆矩阵，则}\nonumber\\ &AB_1=B_1A=E,AB_2=B_2A=E\nonumber\\ &\text{(借助单位矩阵 E 进行变形)}\nonumber\\ &B_1=B_1E=B_1AB_2=EB_2=B_2\nonumber\\ &\therefore B_1=B_2\nonumber \end{align}$$

$A$ 可逆 $\Rightarrow AB=BA=E\Rightarrow|AB|=|E|$

$\left. \begin{array}{} |A|\ne0\\AA^*=A^*A=|A|E\end{array} \right\}\Rightarrow A\frac{A^*}{|A|}=\frac{A^*}{|A|}=A=E\text{，故 }A\text{ 可逆，且 }A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}$

关于 $A^T,A^{-1},A^*$ 运算

1. 穿脱律： $(AB)^T=B^TA^T,(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1},(AB)^*=B^*A^*$
2. 谦让原则： $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T,(A^T)^*=(A^*)^T,(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$

   注意不同之处

   $|A^T|=|A|,|A^{-1}|=\frac{1}{|A|},|A^*|=|A|^{n-1}$

   $(kA)^T=kA^T,(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1},(kA)^*=k^{n-1}|A|^{n-1}$

   $(A+B)^T=A^T+B^T$ 仅有该条

伴随矩阵的性质

• $|A^*|=|A|^{n-1}$
• $AA^*=A^*A=|A|E$
• 若 $A$ 可逆，则 $A^*=|A|A^{-1}$

求 $A^{-1}$ （三阶以上）： $(A|E)\underrightarrow{行变换}(E|A^{-1})$

1. 先把主对角线以下的元素化为0
2. 再把主对角线化为1
3. 再把主对角线以上的元素化为0

矩阵方程

1. 若 $A$ 可逆， $Ax=B\Rightarrow x=A^{-1}B\Rightarrow(A|B)\underrightarrow{行变换}(E|A^{-1}B)$
2. 若 $A$ 可逆， $xA=B\Rightarrow x=BA^{-1}\Rightarrow A^Tx^T=B^T,(A^T|B^T)\underrightarrow{行变换}(E|x^T)$
3. 若 $A,B$ 可逆， $AxB=C\Rightarrow x=A^{-1}CB^{-1}$
4. 若 $A$ 不可逆， $Ax=B\rightarrow$ 借助线性方程组 $x=(x_1\space x_2\space\cdots\space x_n), B=(\beta_1\space \beta_2\space \cdots\space \beta_n)$

矩阵的秩

$r(A)=k\begin{cases}A\text{中存在一个}k\text{阶非零子式}&r\ge k\\A\text{中任意一个}k+1\text{阶子式均为}0&r\le k\end{cases}$

1. $r(A)=0\Leftrightarrow A=O, A\ne O,r(A)>0$
2. $r(A)=1\Rightarrow\begin{cases}A\ne 0\\A\text{的各行各列成比例}\end{cases}$
3. $A_{n\times n}\begin{cases}r(A)=n\Leftrightarrow|A|\ne0\text{（满秩）}\\r(A)<n\Leftrightarrow|A|=0\end{cases}$

   左乘列满秩的矩阵，秩不变；右乘行满秩的矩阵，秩不变

秩的性质

• 乘以可逆矩阵，秩不改变
• $A_{m\times n}B_{n\times s}=O, r(A)+r(B)\le n$
• 矩阵相乘，秩不会增加： $\begin{cases}r(AB)\le r(A)\\ r(AB)\le r(B)\end{cases}$

$$r(A^*)= \begin{cases} n\Leftrightarrow r(A)=n&r(A)=n\Leftrightarrow|A|\ne0\Leftrightarrow|A^*|\ne0\Leftrightarrow r(A^*)=n\nonumber\\ 1\Leftrightarrow r(A)=n-1&r(A)=n-1\Leftrightarrow\nonumber \begin{cases}\text{有一个}n-1\text{阶非零子式}\Rightarrow\text{存在}A_{ij}\ne O\Rightarrow A^*\ne O\Rightarrow r(A^*)\ge1\nonumber\\ |A|=0\Rightarrow AA^*=O\Rightarrow r(A)+r(A^*)\le n\Rightarrow r(A^*)\le1\end{cases}\nonumber\\ 0\Leftrightarrow r(A)< n-1&\nonumber \end{cases}$$

$r(A^*)=1\begin{cases}A^*\ne0\Rightarrow\text{存在}A_{ij}\ne0\Rightarrow A\text{存在一个}n-1\text{阶子式}\Rightarrow r(A)\ge n-1\\|A^*|=0\Rightarrow|A|=0\Rightarrow r(A)\le n-1\end{cases}$

$r(A)<n-1\Leftrightarrow A$ 所有的 $n-1$ 阶子式子全为 $0\Leftrightarrow A_{ij}$ 全为 $O\Leftrightarrow A^*=O\Leftrightarrow r(A^*)=0$

$r(A,B)\ge r(A), r(A,B)\ge r(B), r(A.B)\le r(A)+r(B)$

$r\begin{pmatrix}A & O \\O & B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) r\begin{pmatrix}O & B \\A & O\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$

线性方程组

$A_{m\times n}$ ： $m$ 行= $m$ 个方程， $n$ 列= $n$ 个未知量， $A$ 称为系数矩阵

$Ax=B$ , $B=0$ 时，为齐次矩阵，否则为非齐次方程

齐次方程组的判断 $A_{m\times n}X=0$

• $r(A)=n\Leftrightarrow$ 只有零解， $n$ ：未知数的个数， $|A|\ne0\Leftrightarrow$ 只有零解
• $r(A)<n\Leftrightarrow$ 有非零解， $r(A)$ 有效方程的个数， $|A|=0\Leftrightarrow$ 有非零解

非齐次方程组的判断 $Ax=b$

• $r(A)<r(A,b)\Leftrightarrow$ 无解
• $r(A)=r(A,b)=n\Leftrightarrow$ 有唯一解
• $r(A)=r(A,b)<n\Leftrightarrow$ 有无穷解

  $A$ 行满秩时， $Ax=b$ 一定有解

  $\begin{cases}x_1=\frac{D_1}{D}, x_2=\frac{D_2}{D}, x_n=\frac{D_n}{D}\\D\text{为}|A|\\D_i\text{为}|A_i|\text{，其中}A_i\text{为}A\text{中第}i\text{列换成}b\end{cases}$

向量

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